（18）（本小题满分12分）

在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；

【命题意图】本题以正方体为载体，考查空间垂直关系的证明以及二面角的计算，考查基本的空间推理与计算能力，考查利用向量解决立体几何的能力.

解法一

（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK．

因为点M是棱′的中点，点O是的中点，

所以，

所以．

由，得

因为，，所以平面，

所以．

所以．

又因为OM与异面直线和都相交，

故OM为异面直线和’的公垂线．……………（5分）

（Ⅱ）取的中点N，连结MN，则平面．过点N作于H，连结MH，则由三垂线定理得，．从而，为二面角的平面角．

设，则，．

在中，．

故二面角的大小为．……………………………（12分）

解法二

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为．

，．

即

取，则，．从而．

取平面的一个法向量为．

．

由图可知，二面角的平面角为锐角，

故二面角的大小为．……………………………（12分）

【点评】空间的线线垂直的证明方法主要有：（1）定义法；（2）等腰三角形的性质；（3）三垂线定理；（4）线面垂直；（5）向量法.几何法确定二面角的平面角的方法：（1）直接法；（2）三垂线法；（3）棱的垂面法等，当然如果题目适合建立空间直角坐标系，用向量法更简洁，但对于分步给分的立体几何解答题，传统法也有它的长处.

（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；

2由推导两角和的正弦公式.

（Ⅱ）已知，求

【命题意图】本题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数的关系等基础知识及运算能力.

解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系内作单位圆O，并作出角与，使角的始边为，交于点，终边交于点；角的始边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点．

则，，，．

由及两点间的距离公式，得

展开并整理，得．

．……………（4分）

②由①易得，，．

．

．……………………………（6分）

（Ⅱ），．

．

，．

，．

．………………………（12分）

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