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第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设集合
，集合
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．如图，在复平面内，点
表示复数
，则图中表示的共轭复数的点是（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
4．设
，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题
，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．函数
的部分图象如图所示，则
的值分别是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．函数
的图象大致是（ ）
8．从
这五个数中，每次取出两个不同的数分别为
，共可得到
的不同值的个数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
（A）
（B） （C）
（D）
10．设函数
（
，
为自然对数的底数）．若曲线
上存在
使得
，则
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．二项式
的展开式中，含
的项的系数是____________．（用数字作答）
12．在平行四边形
中，对角线
与
交于点
，
，则
____________．
13．设
，
，则
的值是____________．
14．已知
是定义域为
的偶函数，当
≥
时，
，那么，不等式
的解集是____________．
15．设
为平面
内的
个点，在平面内的所有点中，若点
到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段
上的任意点都是端点
的中位点．则有下列命题：
①若
三个点共线，在线段上，则是的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点
共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分) 在等差数列
中，
，且
为
和
的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．
17．(本小题满分12分) 在
中，角的对边分别为
，且
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，
，求向量
在
方向上的投影．
18．(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在
这
个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出
的值为
的概率
；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为
的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
运行 次数 | 输出 为 | 输出 为 | 输出 为 |
|
|
|
|
… | … | … | … |
|
|
|
|
的频数
的频数
甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
运行 次数 | 输出 为 | 输出 为 | 输出 为 |
|
|
|
|
… | … | … | … |
|
|
|
|
当
时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数
的分布列及数学期望．
19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
分别是线段
的中点，是线段
的中点．
（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面
平行的直线
，说明理由，并证明直线
平面
；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点
，交于点
，求二面角
的余弦值．
20．(本小题满分13分) 已知椭圆：
的两个焦点分别为
，且椭圆经过点
．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设过点
的直线与椭圆交于、两点，点
是线段
上的点，且
，求点的轨迹方程．
21．(本小题满分14分)已知函数
，其中是实数．设
，
为该函数图象上的两点，且
．
（Ⅰ）指出函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且
，求
的最小值；
（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．
