一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

1、已知集合 则

答案：

2、函数的单调增区间是__________

答案：

3、设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________

答案：1

4、根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的m的值是________

答案：3

5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______

答案：

6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差

解析：可以先把这组数都减去6再求方差，

7、已知 则的值为__________

解析：

8、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________

解析：4，设交点为，，则

9、函数是常数，的部分图象如图所示，则

解析：由图可知：

10、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为

解析：由得：k=2

11、已知实数，函数，若，则a的值为________

解析：，

12、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________

解析：设则，过点P作的垂线

，

，所以，t在上单调增，在单调减，。

13、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

解析：由题意：，

，而的最小值分别为1，2，3；。

14、设集合, ,

若 则实数m的取值范围是______________

解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为

（1）若 求A的值；

（2）若，求的值.

解析：（1）

（2）

由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）

16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

解析：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，

又

直线EF‖平面PCD

（2） F是AD的中点，

又平面PAD⊥平面ABCD，

所以，平面BEF⊥平面PAD。

17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P

解析：（1）（0<x<30）,所以x=15cm时侧面积最大，

（2），所以，

当时，，所以，当x=20时，V最大。

此时，包装盒的高与底面边长的比值为

18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

解析：（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以

（2）由得，，AC方程：即：

所以点P到直线AB的距离

（3）法一：由题意设，

A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，

，两式相减得：

法二：设,

A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,

,两式相减得：,

,

19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致

（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。

解析：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即

即

（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，

即，

设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为

则；

当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，

即，

当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，

即而x=0时，不符合题意，

当时，由题意：

综上可知，。

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