2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷，含答案）



参考公式： 棱锥的体积[pic]，其中[pic]为底面积，[pic]为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合[pic]，[pic]，则[pic] ▲ ．
2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为[pic]，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取
容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
3．设[pic]，[pic]（i为虚数单位），则[pic]的值
为 ▲ ．
4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．
5．函数[pic]的定义域为 ▲ ．
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，[pic]为公比的
等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8
的概率是 ▲ ．



7．如图，在长方体[pic]中，[pic]，[pic]，
则四棱锥[pic]的体积为 ▲ cm3．
8．在平面直角坐标系[pic]中，若双曲线[pic]的离心率
为[pic]，则m的值为 ▲ ．
9．如图，在矩形ABCD中，[pic]点E为BC的中点，
点F在边CD上，若[pic]，则[pic]的值是 ▲ ．
10．设[pic]是定义在[pic]上且周期为2的函数，在区间[pic]上，
[pic]其中[pic]．若[pic]，
则[pic]的值为 ▲ ．
11．设[pic]为锐角，若[pic]，则[pic]的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系[pic]中，圆C的方程为[pic]，若直线[pic]上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的
圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ．
13．已知函数[pic]的值域为[pic]，若关于x的不等式[pic]的解集为[pic]，则实数c的值为 ▲ ．
14．已知正数[pic]满足：[pic]则[pic]的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（本小题满分14分）
在[pic]中，已知[pic]．
（1）求证：[pic]；
（2）若[pic]求A的值．




16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱[pic]中，[pic]，[pic]分别是棱[pic]上的点（点D 不同于点C），且[pic]为[pic]的中点．
求证：（1）平面[pic]平面[pic]；
（2）直线[pic]平面ADE．



17．（本小题满分14分）
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已
知炮弹发射后的轨迹在方程[pic]表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可
以击中它？请说明理由．




18．（本小题满分16分）
已知a，b是实数，1和[pic]是函数[pic]的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数[pic]的导函数[pic]，求[pic]的极值点；
（3）设[pic]，其中[pic]，求函数[pic]的零点个数．
19．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆[pic]的左、右焦点分别为[pic]，[pic]．已知[pic]和[pic]都在椭圆上，
其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线[pic]
与直线[pic]平行，[pic]与[pic]交于点P．
（i）若[pic]，求直线[pic]的斜率；
（ii）求证：[pic]是定值．

20．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列[pic]和[pic]满足：[pic]．
（1）设[pic]，求证：数列[pic]是等差数列；
（2）设[pic]，且[pic]是等比数列，求[pic]和[pic]的值．





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