第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合,集合
为整数集,则
( )
A、 B、
C、
D、
【答案】D
【解析】
2、在“世界读书日”前夕,为了了解某地名居民某天的阅读时间,从中抽取了
名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中,
名居民的阅读时间的全体是( )
A、总体 B、个体
C、样本的容量 D、从总体中抽取的一个样本
【答案】A
【解析】
3、为了得到函数的图象,只需把函数
的图象上所有的点( )
A、向左平行移动个单位长度 B、向右平行移动
个单位长度
C、向左平行移动个单位长度 D、向右平行移动
个单位长度
【答案】A
【解析】
4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )(锥体体积公式:,其中
为底面面积,
为高)
A、 B、
C、
D、
【答案】D
【解析】
5、若,
,则一定有( )
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】
6、执行如图的程序框图,如果输入的,那么输出的
的最大值为( )
A、 B、
C、
D、
【答案】C
【解析】
7、已知,
,
,
,则下列等式一定成立的是( )
A、 B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
8、如图,从气球上测得正前方的河流的两岸
,
的俯角分别为
,
,此时气球的高是
,则河流的宽度
等于( )
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】
9、设,过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
,则
的取值范围是( )
A、 B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
10、已知为抛物线
的焦点,点
,
在该抛物线上且位于
轴的两侧,
(其中
为坐标原点),则
与
面积之和的最小值是( )
A、 B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、双曲线的离心率等于____________。
【答案】
【解析】
12、复数____________。
【答案】
【解析】
13、设是定义在
上的周期为
的函数,当
时,
,则
____________。
【答案】1
【解析】
14、平面向量,
,
(
),且
与
的夹角等于
与
的夹角,则
____________。
【答案】2
【解析】
15、以表示值域为
的函数组成的集合,
表示具有如下性质的函数
组成的集合:对于函数
,存在一个正数
,使得函数
的值域包含于区间
。例如,当
,
时,
,
。现有如下命题:
①设函数的定义域为
,则“
”的充要条件是“
,
,
”;
②若函数,则
有最大值和最小值;
③若函数,
的定义域相同,且
,
,则
;
④若函数(
,
)有最大值,则
。
其中的真命题有____________。(写出所有真命题的序号)。
【答案】 (1)(3) (4)
【解析】
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,
,
,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取
次,每次抽取
张,将抽取的卡片上的数字依次记为
,
,
。
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,
,
不完全相同”的概率。
【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)
(Ⅲ)
17、(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求的单调递增区间;
(Ⅱ)若是第二象限角,
,求
的值。
【答案】 (Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)
(Ⅱ)
18、(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形和
都为矩形。
(Ⅰ)若,证明:直线
平面
;
(Ⅱ)设,
分别是线段
,
的中点,在线段
上是否存在一点
,使直线
平面
?请证明你的结论。
【答案】 (Ⅰ)省略 (Ⅱ) 存在,点M为AB中点
【解析】
(Ⅰ)
(Ⅱ)
19、(本小题满分12分)
设等差数列的公差为
,点
在函数
的图象上(
)。
(Ⅰ)证明:数列为等差数列;
(Ⅱ)若,函数
的图象在点
处的切线在
轴上的截距为
,求数列
的前
项和
。
【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)
(Ⅱ)
20、(本小题满分13分)
已知椭圆:
(
)的左焦点为
,离心率为
。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设为坐标原点,
为直线
上一点,过
作
的垂线交椭圆于
,
。当四边形
是平行四边形时,求四边形
的面积。
【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)
(Ⅱ-1)
21、(本小题满分14分)
已知函数,其中
,
为自然对数的底数。
(Ⅰ)设是函数
的导函数,求函数
在区间
上的最小值;
(Ⅱ)若,函数
在区间
内有零点,证明:
。
【答案】
(Ⅰ)
(Ⅱ) 省略
【解析】
(Ⅰ)
(Ⅱ)