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六．填空题：（共2小题，每小题5分，共10分）
25．（2013凉山州）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．
考点：因式分解-提公因式法．
分析：首先提取公因式3x﹣7，再合并同类项即可得到a、b的值，进而可算出a+3b的值．
解答：解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），
=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），
=（3x﹣7）（x﹣8），
则a=﹣7，b=﹣8，
a+3b=﹣7﹣24=﹣31，
故答案为：﹣31．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．
26．（2013凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题：动点型．
分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．
解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=
=
=3，
∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=
==3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=
=
=3，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．
七．解答题：（共2小题，27题8分，28题12分，共20分）
27．（2013凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．
考点：直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图—复杂作图．
专题：探究型．
分析：（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；
（2）连接OD，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可．
解答：解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；
（2）连接OD，
设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，
∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），
∴
，
解得
，
∴此直线的解析式为y=2x+2；
设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，
∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），
∴
，
解得
，
∴此直线的解析式为y=﹣
x﹣3，
∵2×（﹣）=﹣1，
∴PD⊥PE，
∵点D在⊙P上，
∴直线l与⊙P相切．
点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
28．（2013凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴
，解得
，
∴直线AC的解析式为y=﹣
x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，﹣m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+
x+4上，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），
∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，
即PM=﹣
m2+4m（0＜m＜3）；
（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+
m+4﹣4=﹣m2+m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，
即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=
．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，
∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，
∴△PCM为直角三角形；
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3﹣m）=（﹣
m2+
m）：（﹣m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．
∴CP=CM，
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为
或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
