1． 设，，，，证明：数列收敛，并求其极限。（12分）

2． 设在上连续，满足，，设，，证明：（1）为收敛数列；（2）设，则有；（3）若条件改为，，则。（14分）

3． 设，在原点的某邻域内连续，且。证明。（10分）

4． 证明：若在上连续增，，则为上的单调增函数。（10分）

5． 设为上连续函数，证明：（1）在上收敛；（2）在上一致收敛的充要条件是。（12分）

6． 设，试讨论函数在处的连续性。（10分）

7． 计算曲线积分：，其中为常数，为由到经过圆上半部的路线。（14分）

8． 设在上连续，且恒取正值，求：。

（12分）

9． 设周期为的可积函数与满足关系式：，则给出函数的 Fourier系数与函数的 Fourier系数之间的关系。（14分）

10． 设函数定义在上，在每一个有限区间内有界，并满足，证明：。（8分）

11． 设在上连续，又有，使 ，证明：存在，使得。（10分）

12． 设为区间上的单调有界函数，证明：若为的间断点，则必是的第一类间断点。（8分）

13． 已知函数在区间内有二阶导数，且，，求证：，使得内。（8分）

14． 设级数收敛，绝对收敛，试征：级数也收敛。（8分）