第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={|}，B=，则=

.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）

【答案】：A

【解析】：∵A={|}=，B=，

∴=，选A..

2.=

. . . .

【答案】：D

【解析】：∵=，选D..

3.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是

.是偶函数 .||是奇函数

.||是奇函数 .||是奇函数

【答案】：C

【解析】：设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C.

4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为

. .3 . .

【答案】：A

【解析】：由：，得，

设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离=，选A. .

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

. . . .

【答案】：D

【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种，

周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有种；②每天2人有种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为；选D.

6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为

【答案】：B

【解析】：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=，OM=,在中，MD=

，∴，选B. .

7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=

. . . .

【答案】：D

【解析】：输入；时：；

时：；时：；

时：输出 . 选D.

8.设，，且，则

. . . .

【答案】：Ｂ

【解析】：∵，∴

，

∴，即，选B

9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：

：，：,

：，：.

其中真命题是

.， .， .， .，

【答案】：C

【解析】：作出可行域如图：设，即，当直线过时，

，∴，∴命题、真命题，选C.

10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=

. . .3 .2

【答案】：C

【解析】：过Q作QM⊥直线L于M，∵

∴，又，∴，由抛物线定义知

选C

11.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为

.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）

【答案】：B

【解析1】：由已知，，令，得或，

当时，；

且，有小于零的零点，不符合题意。

当时，

要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选B

【解析2】：由已知，=有唯一的正零点，等价于

有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，，由，，，

，要使有唯一的正零根，只需，选B

_ueditor_page_break_tag_12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

. . .6 .4

【答案】：C

【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，

其中，，故最长的棱的长度为，选C

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.的展开式中的系数为___________.(用数字填写答案)

【答案】：20

【解析】：展开式的通项为，

∴，

∴的展开式中的项为，故系数为20。

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市.

由此可判断乙去过的城市为_________.

【答案】：A

【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市

∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为_________.

【答案】：

【解析】：∵，∴O为线段BC中点，故BC为的直径，

∴，∴与的夹角为。

16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为_________.

【答案】：

【解析】：由且 ，

即，由及正弦定理得：

∴，故，∴，∴

，∴，

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减

，由于，所以 …………6分

（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知

假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；

证明时，{}为等差数列：由知

数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列

令则，∴

数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列

令则，∴

∴（），

因此，存在存在，使得{}为等差数列. ………12分

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

(i)利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.

附：≈12.2.

若～，则=0.6826，=0.9544.

【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为

…………6分

（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知～，从而

………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826

依题意知，所以 ………12分

19. (本小题满分12分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.

(Ⅰ) 证明：；

（Ⅱ）若，，AB=BC

求二面角的余弦值.

【解析】：(Ⅰ)连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点．又，所以平面，故又 ，故 ………6分

（Ⅱ）因为且O为的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC，所以

故OA⊥OB，从而OA，OB，两两互相垂直．

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-． 因为，所以为等边三角形．又AB=BC，则

，，，

，

设是平面的法向量，则

，即 所以可取

设是平面的法向量，则，同理可取

则，所以二面角的余弦值为.

20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

【解析】：(Ⅰ) 设，由条件知，得 又，

所以a=2， ,故的方程. ……….6分

（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设

将代入，得，

当，即时，

从而 

又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积

，

设，则，，

当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. …………………………12分

21. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.

【解析】：(Ⅰ) 函数的定义域为，

由题意可得，故 ……………6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，，从而等价于

设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为. ……………8分

设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最小值为.

综上：当时，，即. ……………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.

【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E ,

所以D=E ……………5分

（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC,知MN⊥BC 所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE， 又CBE=E，故A=E由(Ⅰ)（1）知D=E， 所以△ADE为等边三角形． ……………10分

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线：，直线：（为参数）.

(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数），

直线l的普通方程为： ………5分

（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为

，

则，其中为锐角．且.

当时，取得最大值，最大值为；

当时，取得最小值，最小值为. …………10分

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若，且.

(Ⅰ) 求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ) 由，得，且当时等号成立，

故，且当时等号成立，

∴的最小值为. ………5分

（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，

所以不存在，使得成立. ……………10分

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