一、填空(每空4分, 共48分)
设R^3中向量(-1 ) ( 1 ) ( 1 )α<1>＝ ( 1 ), α<2>＝ (-1 ), α<3>＝ ( 0 )( 1 ) ( 0 ) (-1 )(-4 ) ( 4 ) ( 4 )β<1>＝ ( 3 ), β<2>＝ (-3 ), β<3>＝ ( 1 )( 4 ) ( 0 ) (-4 )
(1) β<1>在基{α<1>,α<2>,α<3>}和基{β<1>,β<2>,β<3>}下的坐标分别是______和______.
(2) 从基{α<1>,α<2>,α<3>}到基{β<1>,β<2>,β<3>}的过渡矩阵是______.
又设R^3的线性变换A使得Aα<1>＝β<1>, Aα<2>＝β<2>, Aα<3>＝β<3>, 则
(3) A在基{α<1>,α<2>,α<3>},{β<1>,β<2>,β<3>}和标准基
{( 1 ) ( 0 ) ( 0 )}
{( 0 ),( 1 ),( 0 )} 下的矩阵分别是______,______和______.
{( 0 ) ( 0 ) ( 1 )}
(4) A的特征多项式是______,最小多项式是______,特征值是______.
(5) A的不变因子是______,初等因子是______,若当标准型是______.

二、(12分)
求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的平面的方程, 以及过这三点的圆的方程.

三、(12分)
设A是数域F上的n维线性空间V的线性变换.∞ ∞记V<1>=∪Ker A^i, V<2>=∩Im A^i.i=0 i=0证明:
(1) V<1>和V<2>是A的不变子空间;
(2) V＝V<1>＋ V<2>.

四、(14分)
设实二次型Q(x)＝∑(x-x)^2, 其中x＝(1/n)(x<1>+x<2>+...+x).i=0试求Q(x)的秩和正负惯性指数.

五、(14分)
设A是从m维欧几里德空间E到n维欧几里德空间E的线性映射.试怔: 存在E和E的标准正交基, 使得A在它们下的矩阵形如( D 0)( 0 0), 其中D是一个对角形方阵